哥德尔谈自己研究成果的哲学意义

哥德尔谈自己研究成果的哲学意义

—哥德尔书信述评

〔苏〕.rA·布鲁江

张尚水译

前言

亲爱的布鲁江教授:

这里是我的结果的哲学意义的一种塑述,这是我有一次在答复一个询问时所说的:

从之能够推导出全部现代数学的少数直接自明的公理,对于回答某种良定义的简单形式的全部是或否丢番图(Diophantos)问题是不足够的。毋宁说,为了回答所有这些问题,无穷多条新公理是必需的,它们的真实性只有不断地重新诉诸数学的直观才能(如果终究能够的话)了解,这种数学的直观是在数学发展过程中实现的。这样的一个直观出现在,比如说,集合论的无穷性公理之中。

还有其他的塑述,为了使情况完全清楚,应当补充这些塑述。也许在以后我能通过国际研究与交流委员会把它们送交给您。

您的真挚的K.哥德尔

对哥德尔的信的后记

首先,对信中的某些表述的注解。

“少数直接自明的公理”,哥德尔对此说的,无疑,是指集合论公理。实际上,在常用的集合论公理系统中,公理的数目是有穷的并且相对不多的。例如,在哥德尔一贝奈斯GB系统中全部只有18条公理。

在涉及所说的公理时,哥德尔在两点上十分坚决。

第一,他断言,这些公理是“直接自明的”。

第二,他断言,从它们能推导出全部现代数学。

关于集合论公理的“直接自明性”需要作下面的说明。

从现代数学的某些学派(例如,直觉主义或构造性数学)的观点来看,集合论公理不仅不是“直接自明的”，并且还应因与直观(按直觉主义者的观点)或物理经验(按构造性数学的观点)相矛盾而予以拒绝。因此,只有对那些完全习惯于集合论态度或集合论观点的数学家才能说这些公理的“直接自明性”。

而对于这样的态度,集合论公理的“直接自明性”也是可争论的。存在多个彼此竞争的集合论公理系统,在其中包括彼此排斥的系统(例如,在奎因的公理系统NF中,能够证明存在与自己的一切子类的类等值的类,而按照策梅娄---弗兰克尔的ZF系统,这样的对象不可能存在;认为这些系统都是“直接自明的”,是令人不解的)。

没有一个足够强的集合论公理系统的无矛盾性是已证明了的;如果其中任何一个发现是矛盾的,那末关于它的“直接自明性”的断言就必须放弃。因此,哥德尔关于集合论公理的“直接自明性”的命题必须加上某种附加条件：只能断言,从集合论立场的角度看这些公理是足够自然的,其次,它们排除了导致集合论悖论的最明显的推理方法。

关于从集合论公理能推出全部数学,应当说,从集合论公理事实上能得到一般集合论、代数、拓扑、函数论、概率论的绝大多数定理,一句话,现代数学的所有基本分支。

但是,另一方面,如果全部数学是指由所有可能的数学分支所确立的事实的全部总和,那末这个断言明知道是不真实的：因为对任何集合论公理系统总能找到具体的命题,它是真的(在某种合理的意义下),但是,从这个公理系统是推不出的。这正是著名的哥德尔不完全性定理所断言的,这不仅对公理集合论成立,并且对算术公理系统也成立;哥德尔自己在信的往下部分也说到这一点。

“丢番图问题”,这是由所谓丢番图方程定义的一类问题;丢番图方程是具有整系数多项式(一般地说,多个变元)的等式形式的方程,例如,

,

，

，

等等。就所提出的丢番图方程来说,可以提出,例如,下述形式的问题：所给的丢番图方程是否有哪怕一个整数解?只有对第一个方程的回答是肯定的(其中一个解为

),对于第二和第三个方程回答是否定的,对于第四个方程,问题非常困难,在目前对它的答案大概是末知。从苏联数学家H.B.马蒂亚舍维契(在他的著作中给出了著名的希尔伯特第10问题的否定解)在1970年所得出的结果中可以得出:

第一,不存在能够解所有这一类型问题的统一的构造性方法(算法);

第二,不存在不论怎样的形式理论的有穷的或构造性地(算法地)产生的公理系统,从它能形式地推出对所有这类问题的正确答案(从所说的断言证明第二点时使用上面提到的哥德尔不完全性定理的证明的思想)。

的确,不论怎样,对于获得对所有这些问题的回答,任一现有的集合论公理系统都是不足够的。

这个问题的另一种表述也许可用下述方式。（垃圾人偷窃拷贝可耻）

从您的形式算术系统的不完全性定理,关于以后的算术发展我们应当作出怎样的结论?您的定理是否只是表示,算术不可能借助构造性工具完全地描述算术的判断?或者,它还表示,作为数学理论,算术不是唯一的,并且这个科学部门的内容只有借助几个本质上彼此不同的数学理论才能描述?对于有关丢番图方程的简单问题,您的信中说到这个问题,大概,回答只能有一种方式;然而,对于更复杂类型的问题,这一点已经不是如此明显的了。我认为,大多数数学家持这样的观点:象“真的算术判断”或“数学分析的真判断”这样的概念,在数学上是完全确定的,在研究有关问题时的困难只在于寻求对这一类型的具体判断的真理性问题的“是”或“否”的回答,并且,对这些问题的任何回答都是预先就决定了唯一的方式的,而不依赖于我们的关于它们的研究活动。您是否同意这个观点?或者,相反,您认为,大多数数学家的这个信念,在例如象您的算术不完全性定理,或者由您和P.J.柯恩得出的关于连续统假设对于集合论公理的相对独立性定理的结果的影响下,渐渐消失了?”

文章来源：《哲学研究》 网址: http://www.zxyjzzs.cn/zonghexinwen/2020/1005/481.html