等价、不变性与高阶范畴｜范畴论哲学Ⅱ！(2)

弱等价与高阶范畴

之前我们提到了，随着数学的发展，许多我们关心的数学对象的性质并不只是在同构的意义下是不变的，而是对于一类更弱的等价性不变，这使得我们会研究这一类弱等价的性质。在这一节中，我们会更加详细地谈谈弱等价与高阶范畴之间的联系。

我们以范畴之间的等价性为例。对于知晓一定范畴论的读者想必都会知道，对于两个范畴 和 ，同构并不是它们间最自然的等价概念，而应该考虑的是范畴等价 [categorical equivalence] 的概念。按照我们之前的观点，等价的概念总是与一个范畴紧密联系的。我们便来详细地探讨一下所有范畴之间构成了一个怎样的范畴。

为什么我们要考虑2阶范畴中这种更弱的等价关系呢？这是因为，在2阶范畴的语境下，所有自然的数学构造都关于等价是不变的，而不只是同构。正如在1阶范畴的语境下，所有泛性质 [universal property] 构造都是在同构的意义下定义的，在2阶范畴的语境下，所有对应的（2阶）泛性质构造都是在这种更弱的等价的意义下定义的；换句话说，在2阶范畴中等价的物体对于我们关心的性质而言是没有区别的。以范畴为例，等价的范畴几乎会保持所有我们关心的性质，如极限和余极限的完备性等等。因此，在这个语境下，这种更弱的等价才是我们应该考虑的自然的等价定义。

上面的讨论说明，范畴中的高阶结构会自然对应着某种更弱，但在高阶范畴的语境下更自然的等价定义：我们不再要求两个态射复合后为恒等映射，而是要求复合后的映射和恒等映射之间存在着某种高阶的同构。这个一般的陈述不仅仅适用于2阶范畴，它更广泛地适用于所有n阶范畴 [n-category]、甚至是无穷范畴 [∞-category]。甚至在高阶范畴中，一切概念都应该在这种“高阶同构”的意义下来理解。例如，态射的复合将不是严格定义的，而是在相融的高阶同构 [coherent higher isomorphism] 的含义下定义的。这样的高阶结构，对于现代许多以同伦论为基础的数学来说是非常重要的。

上面这一段话可能有些抽象，如果没有完全理解，没有关系。这篇文章希望大家主要理解的是如下的哲学观点：在数学中，我们希望我们所使用的数学语言能够自动地处理所有我们关心的（弱）等价的概念及等价物体之间数学性质的不变性，这一点可能是采用（高阶）范畴论语言研究数学最重要的益处；且以现代数学的复杂程度来说，采取这样的语言已经不再是个人审美的选择，而成为了一种必要。但我们也可以反过来看这一点：一旦当你研究的数学对象有一个比同构更弱的自然的等价概念，这些数学对象之间就非常自然地就构成了某种高阶的范畴模型。甚至有些数学家会说，对于高阶范畴而言，最重要的便是其中弱等价的概念。

结语

在这篇文章中，我们从（弱）等价与不变性的角度阐明了（高阶）范畴论的意义，以及采取这样的语言所能够带来的好处。事实上，高阶范畴之所以越来越重要，某种程度上是因为数学家、逻辑学家、计算机科学家和更多专业人士开始意识到，对于他们所关心的数学对象之间都有一个非常自然弱等价的概念！拓扑空间有同伦等价性，逻辑系统间有弱表示等价性，计算结构之间有弱模拟等价性，等等。这些都使得高阶范畴论的语言在现代研究中占据着越来越重要的地位。理解范畴中的高阶结构和弱等价之间的对应，会使得我们对数学的理解更上一个台阶。